Ami physicien (qui sait diagonaliser une matrice ;-) entre ici et forge toi une espérance (en essayant d'habiter la géométrie non commutative) !

Voilà une introduction bienvenue aux concepts de la géométrie non commutative écrite par Fabien Besnard, un jeune enseignant-chercheur mathématicien, formé aussi à la physique mathématique (et aussi blogueur). Son texte présente le soucis constant de ne pas perdre son lecteur avec des concepts d'une généralité excessive ou d'une technicité cauchemardesque, le début de son texte reproduit ci-dessous le montre bien. Cet extrait présente aussi l'intérêt remarquable d'expliciter un point délicat : à savoir le problème de la quantification du modèle spectral non commutatif de la physique.

La géométrie non commutative est un domaine tellement vaste qu'il est pour le moins ardu d'en proposer une introduction. Beaucoup de problèmes mènent vers cette théorie et elle a des ramifications dans de nombreuses branches des mathématiques, dont je n'ai que de maigres connaissances sur la plupart d'entre elles. Aussi, au-lieu de plonger dans le coeur du sujet, en comptant sur ​​ma vitesse pour cacher mon incompétence, je vais suivre un seul fil, celui qui commence par la physique quantique , où tout a commencé et ce vers quoi tout revient. En outre , je vais garder autant que faire se peu un profil peu technique, afin que l'ensemble soit simple à suivre pour peu de disposer d'un niveau de premier cycle en mathématiques. En fait, si vous avez déjà diagonalisé une matrice, vous devriez être en mesure de suivre. (Je survents un peu car je vais avoir besoin des opérateurs bornés, mais si vous ne savez pas ce qu'est un opérateur borné, vous pouvez imaginer que c'est une matrice infinie et alors ça devrait aller. Vous aurez besoin de connaître un peu de topologie aussi mais de façon très élémentaire) ...
Un mot d'avertissement avant de poursuivre : même si notre voyage va commencer avec la mécanique quantique et finir avec le modèle standard de la physique des particules, la géométrie non commutative n'est pas quantique de la même manière que la mécanique quantique l'est. La raison en est simple : la géométrie non commutative ne traite pas de la mécanique mais de l'espace. En conséquence son caractère quantique se rapporte à l'espace de configuration, non pas à l'espace des variables d'impulsion et de position comme en mécanique quantique. Jetez un oeil aux figures 4 et 5. Elles illustrent la différence entre géométries non commutative et commutative. Les mêmes figures pourraient être utilisés pour illustrer la différence entre la mécanique classique et quantique mais seulement à condition de comprendre l'espace en question comme espace des phases. Bien sûr, nous pouvons espérer qu'un jour l'ensemble de la physique sera réduite à une sorte de géométrie non commutative, de sorte que la distinction évoquée précedemment disparaîtra. Mais pour l'instant c'est encore un rêve ...

Fabien Besnard, EPF Friendly introduction to the concepts of noncommutative geometry  Notes pour le séminaire “Philosophie et Physique”, Laboratoire SPHERE, Paris 7

24 Mai 2013